Banach-tér

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.

A pontos definíció tehát a következő:

A $V$ vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle $d(a,b):=||a-b||$ összefüggéssel származtatott $d$ távolságra nézve a $V$ tér teljes, vagyis a $V$ térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.

Elnevezés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta. 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt $l^{p}$ tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az $l^{p}$ terek absztrahálásából született fogalom.

Példák

1. Az $l^{p}$ (${\mbox{ }}{p\in [1;\infty )}$ ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.

2. Az adott $[a,b]$ intervallumon folytonos függvények $C[a,b]$ tere Banach-tér a szuprémum normával.

3. Az adott $[a,b]$ intervallumon korlátos változású függvények $V[a,b]$ tere Banach-tér.

4. Az $n$-dimenziós $E_{n}$ euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett $n$-dimenziós vektorok Cⁿ tere is Banach-teret alkot.

Néhány fontos tulajdonság

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.

Ha egy két normált tér közötti $T\colon X\rightarrow Y$ lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha $X$ teljes, akkor $Y$ is teljes.

Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.

Ha $M$ zárt altere az $X$ Banach-térnek, akkor $M$ szintén Bach-tér. Az $X/M$ faktortér is Banach-tér az $\|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|$ normával.

A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti $T$ korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor $X/\operatorname {ker} (T)\cong T(X)$. Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy $L$ bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az $X/\operatorname {ker} (T)$ teret a $T(X)$ térre, hogy $L$ és $L^{-1}$ is folytonos.

Normált terek egy $X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}$ direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden $X_{j}$ tagja Banach-tér.

A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha $(T_{i})_{i\in I}$ Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.

A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti $T$ folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha $T$ bijektív és folytonos, akkor a $T^{-1}$ inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.

A zárt grafikon tétele: Egy $T\colon X\to Y$ lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az $X\times Y$ szorzattérben, ha a leképezés folytonos.

Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.

Minden szeparábilis $X$ Banach-térben létezik egy $M$ zárt altere $l^{1}$-nek úgy, hogy $X\cong l^{1}/M$.

Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.

Lineáris operátorok

Ha $X$ és $Y$ normált terek ugyanazon $\mathbb {K}$ valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos $\mathbb {K}$-lineáris $T\colon X\rightarrow Y$ leképezés halmazát $B(X,Y)$ jelöli.

Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.

Ekkor $B(X,Y)$ egy $\mathbb {K}$-vektortér, melyen

$\|T\|:=\mathrm {sup} \{\|Tx\|:x\in X{\text{ ahol }}\|x\|\leq 1\}$

norma. Ha $Y$ Banach-tér, akkor $B(X,Y)$ is Banach-tér.

Ha $X$ Banach-tér, akkor $B(X)=B(X,X)$ Banach-algebra az $\mathrm {id} _{X}$ identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.

Duális tér

Ha $X$ normált tér a $\mathbb {K}$ test fölött, akkor $\mathbb {K}$ szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint $X'=B(X,\mathbb {K} )$. Általában a $X^{*}$ algebrai duális tér valódi altere.

• Ha $X$ normált tér, akkor $X'$ Banach-tér.
• Legyen $X$ normált tér; ekkor, ha $X'$ szeparábilis, akkor $X$ is szeparábilis.

A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az $X$ téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az $X$ normája által indukált topológiájával, ha $X$ dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.

Létezik egy $F$ természetes leképezés $X$-ből $X''=(X')'=B(X',\mathbb {K} )$-be, a biduális térre, úgy, mint: $F\colon X\to X'',F(x)(f)=f(x)$ minden $x\in X$ és $f\in X'$ esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden $X$-beli $x$-re az $F(x)\colon X'\to \mathbb {K}$ folytonos, ezért $X''$ egy eleme. Az $F$ leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.

Reflexivitás

Ha a $F\colon X\to X''$ leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az $X$ normált tér reflexív.

Minden reflexív normált tér Banach-tér.

Egy $X$ Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha $X'$ reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy $X$ egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.

Ha $X$ reflexív normált tér, $Y$ Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor $X$-ből $Y$-ba, akkor $Y$ reflexív.

Legyen $X$ reflexív normált tér; ekkor $X$ pontosan akkor szeparábilis, ha $X'$ is szeparábilis.

James-tétel: Egy $X$ Banach-térre ekvivalensek:

• $X$ reflexív.
• $\forall f\in X'\ \exists x\in X$, ahol $\left\|x\right\|\leq 1$, teljesül, hogy $f(x)=\left\|f\right\|$.

Források

• Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
• Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8